LOS CUANTIFICADORES

DEFINICIÒN

En lógica matemática, se usa el símbolo , denominado cuantificador universal, antepuesto a unavariable para decir que "para todo" elemento de un cierto conjunto se cumple la proposición dada a continuación. En texto se puede representar con el carácter ∀.

Normalmente, en lógica, el conjunto al que se refiere es el universo o dominio de referencia, en el cual aparecen todas las constantes.

Ejemplo

Si tenemos dos conjuntos diferentes A y B, y Aes un subconjunto de B:

Todo elemento x de A pertenece a B:

Al ser A y B conjuntos diferentes como indica el diagrama, podemos decir que no todos los elementos y de B pertenecen a A, siendo esto una garantia suficiente para que dos conjuntos cualesquiera puedan ser diferentes:

Es decir, que no para todo elemento y de B tenemos que o implica que y también pertenezca a A.

Relación cuantificador universal y el cuantificador existencial

Dada una expresión P(x), según el cuantificador universal se puede transformar en otra equivalente con el cuantificador existencial:

que podriamos leer: si para todo x se cumple P(x) no existe un x que no cumpla P(x).

Según el ejemplo anterior:

Para todo x que pertenece a A implica que x pertenece a B, que podemos expresar:

No existe un x de B por tanto x no este en a A.

Cuantificador existencial

En el lenguaje de predicados en lógica matemática, se usa el símbolo: , llamado cuantificador existencial, antepuesto a una variable para decir que "existe" al menos un elemento del conjunto al que hace referencia la variable, que cumple la proposición escrita a continuación.

Normalmente, en lógica, el conjunto al que se hace referencia es el universo o dominio de referencia, que está formado por todas las constantes.

Ejemplo

Si tenemos dos conjuntos diferentes A y B, y Aes un subconjunto de B:

existe al menos un elemento x de B que pertenece a A:

Al afirmar que existe al menos un x que pertenece a B y pertenece a A, quiere decir que no todos los elementos de B pertenecen a A, al ser A y B conjuntos distintos, existe al menos un elemnto y de B que no pertenece a A:

Que podemos leer: existe al menos un elemento y en B, y este elemento y no pertenece a A.